Objetivos, Modelo 3D e cálculos

Foram definidos objetivos geral e específico, listados abaixo:

1-Objetivo geral:

Construir uma catapulta trebuchet, estruturada de palitos de churrasco, que possa lançar um projétil em máximo alcance.

2-Objetivo específico:

Idealizar, elaborar e construir uma catapulta, do tipo trebuchet, com estrutura treliçada, com altura no intervalo de 500 e 700 mm, largura e comprimento de 400 e 500 mm, respectivamente, com suporte para um contrapeso (anilha) de 1 kg, cabos feitos de cadarço e suporte em couro, um sistema de elevação com roldanas de nylon e cabos feitos de cadarços de sapato, buscando atingir a eficiência ideal (alcance máximo)

Outrossim, foram elaborados os cálculos, com base na teoria relacionada a mecânica clássica, como o lançamento oblíquo, torque, momento que pode ser vista abaixo:

3-Teoria:

3.1-Lançamento oblíquo:


Gráfico 1: Lançamento oblíquo de projéteis. Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAmfIAG/lancamento-obliquo-projeteis

O lançamento do projétil se baseia na teoria física do lançamento oblíquo, no qual a velocidade possui duas componentes x e y, nas quais x mantém velocidade constante (Movimento uniforme) e y mantém aceleração constante (M.R.U), que nesse caso é a aceleração da gravidade (9,79 m/s²). Na imagem pode ser visto também o alcance (A) e a altura (H) (HALLIDAY, 2016). A descrição das componentes da velocidade e as fórmulas para obtenção de alcance e altura podem ser descritas nas equações 1, 2, 3 e 4.

3.2- Alcance Máximo:

Ao zerar a componente y da velocidade (Vy), na equação 2, pôde ser encontrado o instante de tempo no qual o projétil atinge a altura máxima, isso pode se concluir na equação 5. Para encontrar o tempo total, é necessário dobrar o valor de t encontrado.

A fim de buscar o alcance máximo, foram substituídas as equações 2 (Vy) e 5 na equação 3, e assim foi encontrada a equação 6, que mede o alcance médio.

A partir dessa equação, foi analisada a função descrita na equação 7, e a partir do intervalo [0, π/2], foi observado que o máximo era exatamente no ângulo de π/4 (45º), como pode ser visto no gráfico 2. Logo, o ângulo a ser utilizado para encontrar o alcance máximo é o de 45º. 

Gráfico 2: Variação do ângulo. Fonte: própria

Então foi substituído os valores de seno e cosseno do ângulo de 45º na equação 6, e foi encontrada a equação 8.

3.3- Torque:

O torque, ou momento de uma força, acontece quando uma força é aplicada em uma direção diferente da do centro de massa, gerando uma rotação¹. A partir dessa rotação, o objeto consegue uma aceleração angular, que gera uma velocidade angular. Para que haja um torque máximo, é necessário que a força aplicada esteja perpendicular ao braço. A equação 9 descreve a fórmula do torque.

Logo, pode ser analisado que, como o cosseno de 90º é igual a 1, o torque dependeria apenas da distância da força ao ponto fixo (r) e da força aplicada.

Outro conhecimento teórico útil é o torque total, que no caso da catapulta trebuchet é a diferença entre o torque do contrapeso e o torque no projétil, como pode ser visto na equação 10. Pode se considerar r1 como a distância entre o contrapeso e o ponto fixo e r2 como a distância entre o projétil e o ponto fixo.

3.4: Momento de Inércia:

O torque resultante da aplicação de uma força em um corpo rígido pode ser associado a uma aceleração angular (α), analogamente a 2º Lei de Newton, na qual uma força resultante depende diretamente da massa do objeto e da aceleração escalar. No caso da chamada 2º Lei da rotação, descrita na equação 11, o torque depende do momento de inércia (I) e da aceleração angular, sendo que o momento de inércia, descrito na equação 12, depende do tamanho do braço e da massa do objeto. (HALLIDAY, 2016)

Além disso é necessário saber o momento de inércia total, que pode ser exemplificado na equação 13.

Substituindo a inércia total na equação 11 e aplicando alguns conceitos de rotação¹, pode ser possível, a partir da aceleração angular, encontrar a velocidade angular (W), relação descrita na equação 14. Essa grandeza depende da sua velocidade angular inicial, da aceleração angular e do deslocamento angular (teta).

Considerando a velocidade angular inicial (Wo) como 0, já que parte da posição de repouso 0º, pode-se definir a velocidade linear (componente x) através da equação 15.

3.5: Conservação da Energia mecânica:

Outro cálculo necessário para a construção é o da conservação de energia. No caso da catapulta, há duas energias atuando, a cinética e a potencial gravitacional. A energia cinética é associada ao estado de movimento de um objeto, ou seja, quando mais rápido se movimentar, maior é a energia cinética do objeto. No caso da energia potencial gravitacional, ela é associada ao estado de separação entre dois objetos mutuamente atraídos. Por exemplo: a atração de um objeto com a Terra. Nesse caso, quanto maior a separação entre o objeto e a Terra, maior a energia potencial gravitacional. (HALLIDAY, 2016).

Analisando os movimentos feitos pela catapulta e tendo conhecimento da lei da conservação de energia mecânica (Equação 16) e do conhecimento da energia potencial e cinética, pôde ser possível equacionar a relação da energia do projétil. Essa relação pode ser vista na equação 17. A energia potencial final é nula pois não há uma variação de altura (h).

3.6: Momento Angular:

Na mecânica da rotação, o momento angular é análogo ao momento linear. Pensando em um corpo rígido com eixo fixo, assim como a catapulta, o momento linear depende exclusivamente do momento de inércia e da velocidade angular.(HALLIDAY, 2016) A sua fórmula pode ser descrita na equação 18.

4-Cálculos:

Para fins de cálculo foram medidos alguns valores para buscar uma estimativa.
g=9,79 m/s²
r1= 0,125 m
r2=0,375 m
m1=0,0457 Kg
m2=1,1619 Kg
ângulo de lançamento (teta)= 45º

A partir das informações dadas e das equações disponibilizadas, pode-se calcular as seguintes grandezas:

T= 4,209 N.m
I=0,164 Kg.m²
α=25,66 rad/s²
W=6,348 m/s
Vo=2,3805 m/s
Amáx=0,578 m
t total=0,34 s
L=1,041 Kg.m²/s

5-Modelo 3D:

Na figura 1 pode ser visto o modelo em 3D, da catapulta Trebuchet, feito no software de CAD SketchUp, em perspectiva isométrica, com todas as cotagens.

Figura 1: Modelo em 3D da catapulta Trebuchet

6-Referências:

¹Torque ou momento de uma força. Disponível em 

https://www.infoescola.com/mecanica/torque-ou-momento-de-uma-forca/. Acesso em 13/07/2018.

HALLIDAY, David. Fundamentos de Física  vol. 1. Décima Edição. Rio de Janeiro. LTC Editora. 2016. 363 Páginas.

Momento angular. Disponível em https://www.infoescola.com/mecanica/momento-angular/. Acesso em 13/07/2018.

Rotação, Inércia e torque. Disponível em https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/131949/mod_resource/content/1/9-Rotacao_inercia.pdf. Acesso em 13/07/2018.